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  勾股定理是一个基本的几何定理,指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一长直角边为股,斜边为弦,所以称这个定理为勾股定理,也有人称商高定理。

  勾股定理现约有500种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。在中国,商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方,最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派,他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。

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  在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明。设△ABC为一直角三角形,其中A为直角。从A点划一直线至对边,使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等。

  在这个定理的证明中,我们需要如下四个辅助定理:

  如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等。(SAS)

  三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。

  任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。

  任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积(据辅助定理3)。

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  欧几里得证法

  证明的思路为:从A点划一直线至对边,使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二,把上方的两个正方形,通过等高同底的三角形,以其面积关系,转换成下方两个同等面积的长方形。

  设△ABC为一直角三角形,其直角为∠CAB。

  其边为BC、AB和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

  画出过点A之BD、CE的平行线,分别垂直BC和DE于K、L。

  分别连接CF、AD,形成△BCF、△BDA。

  ∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A和G共线,同理可证B、A和H共线。

  ∠CBD和∠FBA都是直角,所以∠ABD=∠FBC。

  因为AB=FB,BD=BC,所以△ABD≌△FBC。

  因为A与K和L在同一直线上,所以四边形BDLK=2△ABD。

  因为C、A和G在同一直线上,所以正方形BAGF=2△FBC。

  因此四边形BDLK=BAGF=AB2。

  同理可证,四边形CKLE=ACIH=AC2。

  把这两个结果相加,AB2+AC2=BD×BK+KL×KC

  由于BD=KL,BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC

  由于CBDE是个正方形,因此AB2+AC2=BC2,即a2+b2=c2。

  此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的。

  由于这个定理的证明依赖于平行公理,而且从这个定理可以推出平行公理,很多人质疑平行公理是这个定理的必要条件,一直到十九世纪尝试否定第五公理的非欧几何出现。

来源:趣历史      日期:2018-07-24
 

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